Fraktal često ima sledeće osobine:
- finu strukturu na proizvoljno malom uvećanju;
- previše je nepravilan da bi mogao biti opisan tradicionalnim euklidskim jezikom;
- sam je sebi sličan;
- Hauzdorfovu dimenziju koja je veća od njegove topološke dimenzije;
- jednostavnu i rekurzivnu definiciju.
Fraktali su svuda oko nas. Ne samo u obliku i izgledu stvari koje nas okružuju, već i u samoj srži raznih fenomena, u funkcijama koje opisuju jednostavnije i kompleksnije sisteme i procese. Veoma važnu primenu našli su u teoriji haosa. Naravno, umetnost ih takođe iskorišćava do krajnjih granica , na primer u izradi fantastičnih slika fraktala, najčešće kompjuterski generisanih. Posebnu primenu fraktali su pronašli u kinematografiji u izradi specijalnih efekata.
Prirodni oblici koji aproksimiraju fraktale do izvesne granice su oblaci, planinski venci, munje, morske obale, snežne pahuljice, ali i neke biljke i životinje.
I Georg Kantor je, u periodu 1879—1884, kada je objavljivao seriju od šest članaka koji su zajedno bili uvod u njegovu Teoriju skupova , razmatrao primere podskupova realne prave sa neuobičajenim osobinama. Ti Kantorovi skupovi su danas svrstani u fraktale.
(Iz Wikipedije)
Kantor je počeo sa jednim konopcem koga je podelio na tri dela. Nakon toga je izbacio središnji deo. Ostala dva dela je ponovo podelio na tri dela i kod svakog ponovo izbacio središnji i tako redom.
Trougao Sjerpinskog
Trougao Sjerpinskog se dobija tako što se krene od punog trougla kome se "iseče" središnji trougao (trougao čija su temena centri strana početnog). Zatim se ova procedura nastavi sa novodobijena tri trougla, a zatim sa novodobijenih devet i tako dalje u beskonačnost.
"Sierpinski triangle evolution". Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons.
Osobine fraktala se mnogo bolje vide na sledećem gifu:
Tetraedar Sjerpinskog Posmatrajmo jedan pravilni tetraedar iz kog je isečen središnji oktaedar tako da na kraju ostanu četiri duplo manja tetraedra koja ga grade. Ukoliko ovo ponovimo sa svakim od tih novonastalih tetraedara, a zatim nastavimo proceduru sa novonastalima u beskonačnost. Tepih Sjerpinskog Ovaj ravanski fraktal je prvi opisao Vaclav Sjerpinski 1916. godine. Počinje se od kvadrata (nulta iteracija) koji se podeli na devet jednakih kvadrata (čije su dužine stranica 1/3 početnog). Srednji kvadrat se oduzme (prva iteracija), a postupak se nastavlja na preostalih osam. Tepih Sjerpinskog nastaje nakon beskonačnog broja iteracija.
|
Više o ovom projektu možete pročitati ovde.
Mengerov sunđer
Dobija se kada se kocka podeli na 27 jednakih delova od kojih se odstrani središnji sa svake strane kao i centralni, tako da ostaje 20 manjih kocki. Ovaj postupak se ponovo primenjuje na svaku od ovih 20 manjih kocki i tako u beskonačnost. Na taj način dobijamo objekat koji ima zapreminu jednaku nuli, a beskonačnu površinu.
"Menger sponge (Level 0-3)". Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons.
"Menger-Schwamm-farbig" by Niabot - Own work. Licensed under GFDL via Wikimedia Commons.
Kohova kriva
Krećemo od duži kojoj u sledećem koraku oduzimamo srednju trećinu i dodajemo druge dve ivice jednakostraničnog trougla konstruisanog nad njom. U svakom sledećem koraku ponavljamo proceduru sa svakom od novonastalih duži.
"Koch anime" by Christophe Dang Ngoc Chan (cdang) - Own work. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons.
Kohova pahuljica
Ako kranemo od jednakostraničnog trougla, telo koje se dobija primenom prethodnog postupka na svaku stranicu ovog trougla nakon beskonačnog broja koraka prikazano je na slici i zove se Kohova pahuljica.
"Von Koch curve" by António Miguel de Campos - self made based in own JAVA animation. Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons.
Pitagorino drvo
Pitagorino drvo je ravanski fraktal konstruisan pomoću kvadrata. Dobio je ime po Pitagori zato što svaka trojka susednih kvadrata svojim zajedničkim temenima određuje pravougli trougao, u obliku koji se tradicionalno koristi za prikaz Pitagorine teoreme. Ako je stranica prvog kvadrata dužine 1, celo Pitagorino drvo može stati u pravougaonik veličine 6×4. Sitniji detalji drveta podsećaju na Levijevu C krivu. Fraktal je prvi konstruisao holandski matematičar Albert Bosman 1942. godine
Konstrukcija Pitagorinog drveta počinje kvadratom. Nad njim se konstruišu dva manja kvadrata, sa koeficijentom sličnosti , tako da svaki kvadrat ima po jedno zajedničko teme sa preostala dva. Isto se ponavlja rekurzivno nad dva manja kvadrata, ad infinitum. Sledeće ilustracije prikazuju prvih nekoliko iteracija u postupku konstrukcije
"Pythagoras tree 1 1 13 Summer" by Guillaume Jacquenot Gjacquenot - Own work. Licensed under GFDL via Wikimedia Commons.
Mandelbrotov skup
Mandelbrotov skup je najsavršeniji od svih fraktala. Kad povećamo njegove delove, ponovo se ukazuju isti oblici – on ima svojstvo samosličnosti.
Benoa Mandelbrot je šezdesetih godina 20. veka počeo da se bavi samosličnošću u svojim radovima kao što je članak Koliko je dugačka britanska obala?
"Mandel zoom 00 mandelbrot set". Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons.
Na TED2010, ovaj matematičar razvija temu o kojoj je prvi put pričao na TED1984 – o izuzetnoj kompleksnosti hrapavosti i načinu na koji matematika fraktala može da pronađe red unutar obrazaca koji se čine nepojmljivo komplikovanim.
Jedno zanimljivo viđenje ovog matematičara i njegovog rada iz nekog drugog ugla možete pročitati na ovom blogu.
Detalnije o fraktalima možete pročitati na Wikipediji, a o fraktalnim dimenzijama u ovom članku.